à Espaces préhilbertiens :
voir cours SUP (prod scalaire, polarisation, ident du paral., ...)
||x||=Ö (j (x|x))
Ineg de Cauchy : |(x|y)| £ ||x||.||y|| il y a égalité Û x et y liés
Th : F et F^ sont 2 espaces de E en somme directe
Th : si F ss ev de dim finie de E alors F et F^ sont supplémentaires
Def : proj ^ sur F : proj sur F parallèlement à F^
Orthogonalisation de Schmidt : (ui)iÎ I famille de vect libres de E (I ens d’entiers consécutifs contenant 0)
à Voir cours SUP
(e1...en) b.o.n. de F et x (l 1...l n) coord de x tq l k=(ek|x)
Espace euclidien : espace préhilbertien réel de dim finie
A sym : tA=A P orthog : In=tP.P
Esp hermitien : esp. préhilbertien complexe de dim finie
Def : E esp hermitien B=(u1...un) base de E, matrice du prod scalaire de t.g. aij=(ui|uj)
à Endomorphismes symétriques :
Def : f* : adjoint de f : l’unique applic Eà E tq " (x,y)Î E², (f(x)|y)=(x|f*(y))
à f est un endom de E
Propriétés : (f+g)*=f*+g* (l f)*=l f* (fog)*=g*of*
Id*=Id
Si f est inversible : f* inv et (f*)-1=(f-1)*
fÎ O(E) Û fof*=Id p proj, p orthog Û p*=p
Th : fÎ L(E) A=M(f,B) alors M(f*,B)=tA
Def : f autoadjoint Û f*=f et alors Ker(f) et Im(f) son supplémentaires
Th : A matrice réelle sym, le polyn caract n’a que des racines réelles
Th : f autoadjoint alors f diagonalise et $ b.o.n. de vecteurs propres
Si A matr réelle sym $ D matrice diag tq A=PDP-1=PDtP
Def : A matrice réelle sym , q la f.q. sur Rn, A positive qd q positive
Th : une matrice réelle sym est ³ 0 Û ses valeurs propres sont ³ 0
est def ³ 0 Û ses val pr sont >0 cad elle est ³ 0 et inversible
Coniques :
P(x,y)=Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F
g : Eà R def par g (M)=P(x,y)
G ={MÎ E g (M)=0} conique de E
q la f.q. et f l’endom autoadj assoc de mat
(I,J) b.o.n. de vect pr de f assoc à l ,µ
Quadriques :
f(x,y,z)=Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Eyz+2Fzx+2Gx+2Hy+2Jz+K
q f.q. a une matrice 3x3
G d’eq l X²+µY²+n Z²+f(W )=0
si l , µ, n de même signe à genre ellipsoïde sinon hyperboloïde
On choisit J, K tq K.grad f=0 2b =J.grad f
Ellipsoïde : X²/a ²+Y²/b ²+Z²/g ²=w si w<0 vide si w=0 point
Hyperboloïde : X²/a ²+Y²/b ²-Z²/g ²=w si w<0 hyp à 2 nappes si w=0 cône si w>0 hyp à 1 nappe
Paraboloïde : l X²+µY²+2b Z=w eq réduite X²/a²+Y²/b²=2pZ
Def : une quadrique est réglée qd " pt de la quad, il passe une dte sur la quad.